source: trunk/sys/libm/s_erf.c @ 57

Last change on this file since 57 was 1, checked in by alain, 8 years ago

First import
File size: 11.0 KB
Line 
1
2/* @(#)s_erf.c 5.1 93/09/24 */
3/*
4 * ====================================================
5 * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
6 *
7 * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
8 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
9 * software is freely granted, provided that this notice
10 * is preserved.
11 * ====================================================
12 */
13
14/* double erf(double x)
15 * double erfc(double x)
16 *                           x
17 *                    2      |\
18 *     erf(x)  =  ---------  | exp(-t*t)dt
19 *                 sqrt(pi) \|
20 *                           0
21 *
22 *     erfc(x) =  1-erf(x)
23 *  Note that
24 *              erf(-x) = -erf(x)
25 *              erfc(-x) = 2 - erfc(x)
26 *
27 * Method:
28 *      1. For |x| in [0, 0.84375]
29 *          erf(x)  = x + x*R(x^2)
30 *          erfc(x) = 1 - erf(x)           if x in [-.84375,0.25]
31 *                  = 0.5 + ((0.5-x)-x*R)  if x in [0.25,0.84375]
32 *         where R = P/Q where P is an odd poly of degree 8 and
33 *         Q is an odd poly of degree 10.
34 *                                               -57.90
35 *                      | R - (erf(x)-x)/x | <= 2
36 *     
37 *
38 *         Remark. The formula is derived by noting
39 *          erf(x) = (2/sqrt(pi))*(x - x^3/3 + x^5/10 - x^7/42 + ....)
40 *         and that
41 *          2/sqrt(pi) = 1.128379167095512573896158903121545171688
42 *         is close to one. The interval is chosen because the fix
43 *         point of erf(x) is near 0.6174 (i.e., erf(x)=x when x is
44 *         near 0.6174), and by some experiment, 0.84375 is chosen to
45 *         guarantee the error is less than one ulp for erf.
46 *
47 *      2. For |x| in [0.84375,1.25], let s = |x| - 1, and
48 *         c = 0.84506291151 rounded to single (24 bits)
49 *              erf(x)  = sign(x) * (c  + P1(s)/Q1(s))
50 *              erfc(x) = (1-c)  - P1(s)/Q1(s) if x > 0
51 *                        1+(c+P1(s)/Q1(s))    if x < 0
52 *              |P1/Q1 - (erf(|x|)-c)| <= 2**-59.06
53 *         Remark: here we use the taylor series expansion at x=1.
54 *              erf(1+s) = erf(1) + s*Poly(s)
55 *                       = 0.845.. + P1(s)/Q1(s)
56 *         That is, we use rational approximation to approximate
57 *                      erf(1+s) - (c = (single)0.84506291151)
58 *         Note that |P1/Q1|< 0.078 for x in [0.84375,1.25]
59 *         where
60 *              P1(s) = degree 6 poly in s
61 *              Q1(s) = degree 6 poly in s
62 *
63 *      3. For x in [1.25,1/0.35(~2.857143)],
64 *              erfc(x) = (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R1/S1)
65 *              erf(x)  = 1 - erfc(x)
66 *         where
67 *              R1(z) = degree 7 poly in z, (z=1/x^2)
68 *              S1(z) = degree 8 poly in z
69 *
70 *      4. For x in [1/0.35,28]
71 *              erfc(x) = (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R2/S2) if x > 0
72 *                      = 2.0 - (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R2/S2) if -6<x<0
73 *                      = 2.0 - tiny            (if x <= -6)
74 *              erf(x)  = sign(x)*(1.0 - erfc(x)) if x < 6, else
75 *              erf(x)  = sign(x)*(1.0 - tiny)
76 *         where
77 *              R2(z) = degree 6 poly in z, (z=1/x^2)
78 *              S2(z) = degree 7 poly in z
79 *
80 *      Note1:
81 *         To compute exp(-x*x-0.5625+R/S), let s be a single
82 *         precision number and s := x; then
83 *              -x*x = -s*s + (s-x)*(s+x)
84 *              exp(-x*x-0.5626+R/S) =
85 *                      exp(-s*s-0.5625)*exp((s-x)*(s+x)+R/S);
86 *      Note2:
87 *         Here 4 and 5 make use of the asymptotic series
88 *                        exp(-x*x)
89 *              erfc(x) ~ ---------- * ( 1 + Poly(1/x^2) )
90 *                        x*sqrt(pi)
91 *         We use rational approximation to approximate
92 *              g(s)=f(1/x^2) = log(erfc(x)*x) - x*x + 0.5625
93 *         Here is the error bound for R1/S1 and R2/S2
94 *              |R1/S1 - f(x)|  < 2**(-62.57)
95 *              |R2/S2 - f(x)|  < 2**(-61.52)
96 *
97 *      5. For inf > x >= 28
98 *              erf(x)  = sign(x) *(1 - tiny)  (raise inexact)
99 *              erfc(x) = tiny*tiny (raise underflow) if x > 0
100 *                      = 2 - tiny if x<0
101 *
102 *      7. Special case:
103 *              erf(0)  = 0, erf(inf)  = 1, erf(-inf) = -1,
104 *              erfc(0) = 1, erfc(inf) = 0, erfc(-inf) = 2,
105 *              erfc/erf(NaN) is NaN
106 */
107
108
109#include <libm/fdlibm.h>
110
111#ifdef __STDC__
112static const double
113#else
114static double
115#endif
116tiny        = 1e-300,
117half=  5.00000000000000000000e-01, /* 0x3FE00000, 0x00000000 */
118one =  1.00000000000000000000e+00, /* 0x3FF00000, 0x00000000 */
119two =  2.00000000000000000000e+00, /* 0x40000000, 0x00000000 */
120        /* c = (float)0.84506291151 */
121erx =  8.45062911510467529297e-01, /* 0x3FEB0AC1, 0x60000000 */
122/*
123 * Coefficients for approximation to  erf on [0,0.84375]
124 */
125efx =  1.28379167095512586316e-01, /* 0x3FC06EBA, 0x8214DB69 */
126efx8=  1.02703333676410069053e+00, /* 0x3FF06EBA, 0x8214DB69 */
127pp0  =  1.28379167095512558561e-01, /* 0x3FC06EBA, 0x8214DB68 */
128pp1  = -3.25042107247001499370e-01, /* 0xBFD4CD7D, 0x691CB913 */
129pp2  = -2.84817495755985104766e-02, /* 0xBF9D2A51, 0xDBD7194F */
130pp3  = -5.77027029648944159157e-03, /* 0xBF77A291, 0x236668E4 */
131pp4  = -2.37630166566501626084e-05, /* 0xBEF8EAD6, 0x120016AC */
132qq1  =  3.97917223959155352819e-01, /* 0x3FD97779, 0xCDDADC09 */
133qq2  =  6.50222499887672944485e-02, /* 0x3FB0A54C, 0x5536CEBA */
134qq3  =  5.08130628187576562776e-03, /* 0x3F74D022, 0xC4D36B0F */
135qq4  =  1.32494738004321644526e-04, /* 0x3F215DC9, 0x221C1A10 */
136qq5  = -3.96022827877536812320e-06, /* 0xBED09C43, 0x42A26120 */
137/*
138 * Coefficients for approximation to  erf  in [0.84375,1.25]
139 */
140pa0  = -2.36211856075265944077e-03, /* 0xBF6359B8, 0xBEF77538 */
141pa1  =  4.14856118683748331666e-01, /* 0x3FDA8D00, 0xAD92B34D */
142pa2  = -3.72207876035701323847e-01, /* 0xBFD7D240, 0xFBB8C3F1 */
143pa3  =  3.18346619901161753674e-01, /* 0x3FD45FCA, 0x805120E4 */
144pa4  = -1.10894694282396677476e-01, /* 0xBFBC6398, 0x3D3E28EC */
145pa5  =  3.54783043256182359371e-02, /* 0x3FA22A36, 0x599795EB */
146pa6  = -2.16637559486879084300e-03, /* 0xBF61BF38, 0x0A96073F */
147qa1  =  1.06420880400844228286e-01, /* 0x3FBB3E66, 0x18EEE323 */
148qa2  =  5.40397917702171048937e-01, /* 0x3FE14AF0, 0x92EB6F33 */
149qa3  =  7.18286544141962662868e-02, /* 0x3FB2635C, 0xD99FE9A7 */
150qa4  =  1.26171219808761642112e-01, /* 0x3FC02660, 0xE763351F */
151qa5  =  1.36370839120290507362e-02, /* 0x3F8BEDC2, 0x6B51DD1C */
152qa6  =  1.19844998467991074170e-02, /* 0x3F888B54, 0x5735151D */
153/*
154 * Coefficients for approximation to  erfc in [1.25,1/0.35]
155 */
156ra0  = -9.86494403484714822705e-03, /* 0xBF843412, 0x600D6435 */
157ra1  = -6.93858572707181764372e-01, /* 0xBFE63416, 0xE4BA7360 */
158ra2  = -1.05586262253232909814e+01, /* 0xC0251E04, 0x41B0E726 */
159ra3  = -6.23753324503260060396e+01, /* 0xC04F300A, 0xE4CBA38D */
160ra4  = -1.62396669462573470355e+02, /* 0xC0644CB1, 0x84282266 */
161ra5  = -1.84605092906711035994e+02, /* 0xC067135C, 0xEBCCABB2 */
162ra6  = -8.12874355063065934246e+01, /* 0xC0545265, 0x57E4D2F2 */
163ra7  = -9.81432934416914548592e+00, /* 0xC023A0EF, 0xC69AC25C */
164sa1  =  1.96512716674392571292e+01, /* 0x4033A6B9, 0xBD707687 */
165sa2  =  1.37657754143519042600e+02, /* 0x4061350C, 0x526AE721 */
166sa3  =  4.34565877475229228821e+02, /* 0x407B290D, 0xD58A1A71 */
167sa4  =  6.45387271733267880336e+02, /* 0x40842B19, 0x21EC2868 */
168sa5  =  4.29008140027567833386e+02, /* 0x407AD021, 0x57700314 */
169sa6  =  1.08635005541779435134e+02, /* 0x405B28A3, 0xEE48AE2C */
170sa7  =  6.57024977031928170135e+00, /* 0x401A47EF, 0x8E484A93 */
171sa8  = -6.04244152148580987438e-02, /* 0xBFAEEFF2, 0xEE749A62 */
172/*
173 * Coefficients for approximation to  erfc in [1/.35,28]
174 */
175rb0  = -9.86494292470009928597e-03, /* 0xBF843412, 0x39E86F4A */
176rb1  = -7.99283237680523006574e-01, /* 0xBFE993BA, 0x70C285DE */
177rb2  = -1.77579549177547519889e+01, /* 0xC031C209, 0x555F995A */
178rb3  = -1.60636384855821916062e+02, /* 0xC064145D, 0x43C5ED98 */
179rb4  = -6.37566443368389627722e+02, /* 0xC083EC88, 0x1375F228 */
180rb5  = -1.02509513161107724954e+03, /* 0xC0900461, 0x6A2E5992 */
181rb6  = -4.83519191608651397019e+02, /* 0xC07E384E, 0x9BDC383F */
182sb1  =  3.03380607434824582924e+01, /* 0x403E568B, 0x261D5190 */
183sb2  =  3.25792512996573918826e+02, /* 0x40745CAE, 0x221B9F0A */
184sb3  =  1.53672958608443695994e+03, /* 0x409802EB, 0x189D5118 */
185sb4  =  3.19985821950859553908e+03, /* 0x40A8FFB7, 0x688C246A */
186sb5  =  2.55305040643316442583e+03, /* 0x40A3F219, 0xCEDF3BE6 */
187sb6  =  4.74528541206955367215e+02, /* 0x407DA874, 0xE79FE763 */
188sb7  = -2.24409524465858183362e+01; /* 0xC03670E2, 0x42712D62 */
189
190#ifdef __STDC__
191        double erf(double x) 
192#else
193        double erf(x) 
194        double x;
195#endif
196{
197        int n0,hx,ix,i;
198        double R,S,P,Q,s,y,z,r;
199        n0 = ((*(int*)&one)>>29)^1;
200        hx = *(n0+(int*)&x);
201        ix = hx&0x7fffffff;
202        if(ix>=0x7ff00000) {            /* erf(nan)=nan */
203            i = ((unsigned)hx>>31)<<1;
204            return (double)(1-i)+one/x; /* erf(+-inf)=+-1 */
205        }
206
207        if(ix < 0x3feb0000) {           /* |x|<0.84375 */
208            if(ix < 0x3e300000) {       /* |x|<2**-28 */
209                if (ix < 0x00800000) 
210                    return 0.125*(8.0*x+efx8*x);  /*avoid underflow */
211                return x + efx*x;
212            }
213            z = x*x;
214            r = pp0+z*(pp1+z*(pp2+z*(pp3+z*pp4)));
215            s = one+z*(qq1+z*(qq2+z*(qq3+z*(qq4+z*qq5))));
216            y = r/s;
217            return x + x*y;
218        }
219        if(ix < 0x3ff40000) {           /* 0.84375 <= |x| < 1.25 */
220            s = fabs(x)-one;
221            P = pa0+s*(pa1+s*(pa2+s*(pa3+s*(pa4+s*(pa5+s*pa6)))));
222            Q = one+s*(qa1+s*(qa2+s*(qa3+s*(qa4+s*(qa5+s*qa6)))));
223            if(hx>=0) return erx + P/Q; else return -erx - P/Q;
224        }
225        if (ix >= 0x40180000) {         /* inf>|x|>=6 */
226            if(hx>=0) return one-tiny; else return tiny-one;
227        }
228        x = fabs(x);
229        s = one/(x*x);
230        if(ix< 0x4006DB6E) {    /* |x| < 1/0.35 */
231            R=ra0+s*(ra1+s*(ra2+s*(ra3+s*(ra4+s*(
232                                ra5+s*(ra6+s*ra7))))));
233            S=one+s*(sa1+s*(sa2+s*(sa3+s*(sa4+s*(
234                                sa5+s*(sa6+s*(sa7+s*sa8)))))));
235        } else {        /* |x| >= 1/0.35 */
236            R=rb0+s*(rb1+s*(rb2+s*(rb3+s*(rb4+s*(
237                                rb5+s*rb6)))));
238            S=one+s*(sb1+s*(sb2+s*(sb3+s*(sb4+s*(
239                                sb5+s*(sb6+s*sb7))))));
240        }
241        z  = x; 
242        *(1-n0+(int*)&z) = 0;
243        r  =  __ieee754_exp(-z*z-0.5625)*__ieee754_exp((z-x)*(z+x)+R/S);
244        if(hx>=0) return one-r/x; else return  r/x-one;
245}
246
247#ifdef __STDC__
248        double erfc(double x) 
249#else
250        double erfc(x) 
251        double x;
252#endif
253{
254        int n0,hx,ix;
255        double R,S,P,Q,s,y,z,r;
256        n0 = ((*(int*)&one)>>29)^1;
257        hx = *(n0+(int*)&x);
258        ix = hx&0x7fffffff;
259        if(ix>=0x7ff00000) {                    /* erfc(nan)=nan */
260                                                /* erfc(+-inf)=0,2 */
261            return (double)(((unsigned)hx>>31)<<1)+one/x;
262        }
263
264        if(ix < 0x3feb0000) {           /* |x|<0.84375 */
265            if(ix < 0x3c700000)         /* |x|<2**-56 */
266                return one-x;
267            z = x*x;
268            r = pp0+z*(pp1+z*(pp2+z*(pp3+z*pp4)));
269            s = one+z*(qq1+z*(qq2+z*(qq3+z*(qq4+z*qq5))));
270            y = r/s;
271            if(hx < 0x3fd00000) {       /* x<1/4 */
272                return one-(x+x*y);
273            } else {
274                r = x*y;
275                r += (x-half);
276                return half - r ;
277            }
278        }
279        if(ix < 0x3ff40000) {           /* 0.84375 <= |x| < 1.25 */
280            s = fabs(x)-one;
281            P = pa0+s*(pa1+s*(pa2+s*(pa3+s*(pa4+s*(pa5+s*pa6)))));
282            Q = one+s*(qa1+s*(qa2+s*(qa3+s*(qa4+s*(qa5+s*qa6)))));
283            if(hx>=0) {
284                z  = one-erx; return z - P/Q; 
285            } else {
286                z = erx+P/Q; return one+z;
287            }
288        }
289        if (ix < 0x403c0000) {          /* |x|<28 */
290            x = fabs(x);
291            s = one/(x*x);
292            if(ix< 0x4006DB6D) {        /* |x| < 1/.35 ~ 2.857143*/
293                R=ra0+s*(ra1+s*(ra2+s*(ra3+s*(ra4+s*(
294                                ra5+s*(ra6+s*ra7))))));
295                S=one+s*(sa1+s*(sa2+s*(sa3+s*(sa4+s*(
296                                sa5+s*(sa6+s*(sa7+s*sa8)))))));
297            } else {                    /* |x| >= 1/.35 ~ 2.857143 */
298                if(hx<0&&ix>=0x40180000) return two-tiny;/* x < -6 */
299                R=rb0+s*(rb1+s*(rb2+s*(rb3+s*(rb4+s*(
300                                rb5+s*rb6)))));
301                S=one+s*(sb1+s*(sb2+s*(sb3+s*(sb4+s*(
302                                sb5+s*(sb6+s*sb7))))));
303            }
304            z  = x;
305            *(1-n0+(int*)&z)  = 0;
306            r  =  __ieee754_exp(-z*z-0.5625)*
307                        __ieee754_exp((z-x)*(z+x)+R/S);
308            if(hx>0) return r/x; else return two-r/x;
309        } else {
310            if(hx>0) return tiny*tiny; else return two-tiny;
311        }
312}
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.