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Jan 11, 2010, 12:10:58 AM (15 years ago)

Author:

franck

Comment:

--

2009/CaoCourseTme8

@@ +1 @@
+{{{
+#!html
+<h1>TME 8 : Méthode de partitionnement de graphe : Min-Cut</h1>
+}}}
+[[PageOutline]]
+
+= Objectif =
+
+On souhaite implanter en langage C un algorithme de partitionnement de graphe utilisant
+la méthode Min-Cut, dont le principe a été présenté en cours. Cet algorithme est fortement
+inspiré de la méthode publiée par Fiduccia et Mattheyses en 1982.
+Cet algorithme est souvent utilisé en CAO micro-électronique pour résoudre des problèmes de
+placement : Les noeuds du graphe représentent des cellules précaractérisèes à placer dans un plan, 
+et l'existence d'une arête entre deux noeuds i et j représente l'existence d'une connection entre 
+les deux deux cellules i et j.
+
+= A) Introduction = 
+
+Soit un graphe G(N, H), où N est l'ensemble des noeuds, et H l'ensemble des
+arêtes. Une bipartition de G est formée de 2 sous-ensembles L (left) et R
+(right) de l'ensemble des noeuds N, dont l'intersection est vide, et l'union
+est égale à N.
+
+En supposant que le nombre de noeud est pair, on dit qu'une bipartition est
+équilibrée si |L| = |R| = N/2
+
+Dans le contexte du placement de cellules, on part d'une net-list de cellules
+précaractérisées, et on cherche à partitionner l'ensemble des cellules
+en deux sous-ensembles L et R tels que le nombre de signaux traversant la
+frontière entre les deux sous-ensembles soit minimal.
+
+Nous allons raisonner sur un graphe non-orienté, défini de la façon suivante: 
+
+Les noeuds Ci représentent les cellules de la net-list `(0 < i < N-1)`.
+Il existe une arête entre deux cellules Ci et Cj chaque fois qu'il existe au
+moins un signal connectant un port de la cellule Ci à un port de la cellule Cj.
+
+Attention: avec cette définition, à un seul signal de la net-list peuvent
+correspondre plusieurs arêtes dans le graphe: si la sortie d'une
+cellule attaque n autres cellules, on a n arêtes dans le graphe.
+
+On appelle «matrice d'adjacence» {Aij} la matrice carrée N * N qui représente
+la structure du graphe:
+ * Aij = 1 si il existe une arête dans le graphe entre les noeuds Ci et Cj
+ * Aij = 0 sinon
+
+= B) Algorithme !MinCut glouton = 
+
+On défini comme suit la fonction de coût du problème d'optimisation !MinCut,
+dont la valeur dépend du nombre d'arcs qui traversent la frontière :
+{{{
+FC = 1/2 Somme  Aij * Kij
+          i,j
+
+Kij = 1 si les cellules Ci et Cj sont de part et d'autre de la frontière
+Kij = 0 sinon
+}}}     
+
+On part d'une bi-partition équilibrée initiale arbitraire en deux ensembles
+L et R, et on cherche à optimiser la fonction de coût FC, sans garantie d'atteindre
+le minimum absolu, mais avec un temps de calcul très court.
+
+L'idée de base de l'algorithme est de pré-calculer, pour chaque cellule Ci
+un gain G(i) représentant la variation de la fonction de coût FC lorsqu'on
+déplace la cellule Ci d'un côté de la frontière à l'autre (sans déplacer
+aucune autre cellule).
+
+Le gain G(i) est défini par:
+{{{
+G(i) = Somme  Aij * Dij
+         j
+Dij = +1 si les cellules Ci et Cj sont de part et d'autre de la frontière
+Dij = -1  sinon
+}}}
+Après avoir calculé le gain G(i) pour toutes les cellules Ci, on classe les
+cellules dans deux listes ordonnées par gain décroissant (une liste ordonnée GAIN_L
+pour les cellules appartenant à L et une liste ordonnée GAIN_R pour les cellules
+appartenant à R).
+
+Un mouvement élémentaire consiste à échanger deux cellules i et j :
+ * une cellule i appartenant à l'ensemble R passe dans l'ensemble L
+ * une cellule j appartenant à l'ensemble L passe dans l'ensemble R
+
+La variation de la fonction de coût résultant du mouvement des cellules i et j
+peut être calculée de la façon suivante:
+{{{
+DFC(i<->j) = G(i) + G(j) - 2 * Aij
+}}}
+
+L'algorithme d'optimisation proposé est "glouton", car il n'y a pas de retour en arrière:
+Lorsqu'un mouvement a été accepté, les deux cellules déplacées i et j ne sont plus autorisées à bouger.
+
+On considère la cellule i appartenant à R possédant le gain G(i) maximum, et la cellule j appartenant à L possédant le gain G(j) maximum.
+On calcule la variation de la fonction de coût associé à l'échange i <-> j, et on accepte le mouvement
+tant que celui-ci n'entraîne pas une augmentation de la fonction de coût.
+
+= C) Structures de données =
+
+On a besoin de deux structures de données séparées pour représenter d'une part
+le graphe à partitionner, et d'autre part les listes GAIN_L et GAIN_R. Cette
+seconde structure de donnée étant utilisée pour calculer les mouvements de
+cellules à effectuer, est  appelée «gestionnaire de mouvements».
+
+== C1) représentation du graphe ==
+
+Les noeuds du graphe sont identifiés par un index compris entre 0 et (NBNODE-1).
+
+La structure du graphe est représentée par un tableau NODE[ ] indexé par
+le numéro du noeud (la taille du tableau est donc égale à NBNODE). Chaque
+case du tableau NODE[i] contient un pointeur sur une liste de bi-pointeurs
+représentant l'ensemble des noeuds adjacents au noeud [i]. Il y a donc un
+bipointeur pour chaque arête attachée au noeud[i].
+
+Un second tableau PART[ ] est lui aussi indexé par le numéro du noeud. Chaque
+case  PART[i] contient un entier définissant à quel sous-ensemble appartient
+le noeud [i]: (valeur 0 pour l'ensemble R, et valeur 1 pour l'ensemble L).
+
+Le graphe est donc représenté par la structure suivante:
+{{{
+typedef struct graph_t {
+  unsigned      NBNODE; // nombre de noeuds du graphe
+  bip_t *       * NODE; // pointeur sur le tableau NODE[NBNODE]
+  unsigned      * PART; // pointeur sur le tableau PART[NBNODE] 
+} graph_t
+}}}
+
+[[Image(graph.png, nolink)]]
+
+== C2) représentation du gestionnaire des mouvements ==
+
+On appelle arité d'un noeud du graphe, le nombre d'arêtes attachées à ce
+noeud. Le gain maximum G(i) associé au mouvement d'un noeud [i] est au plus
+égal à l'arité du noeud [i]: Ce gain peut être positif ou négatif, mais sa
+valeur absolue ne peut pas être supérieure au nombre des noeuds auquel il
+est connecté.
+Soit GMAX la valeur maximale de l'arité (en considérant tous les noeuds du graphe). 
+Pour tout noeud [i] du graphe, on a donc -GMAX < G(i) < GMAX
+
+Pour représenter la liste ordonnée GAIN_L, on effectue une partition de
+l'ensemble des cellules appartenant à L, en regroupant dans un même sous
+ensemble tous les noeuds possédant  le même gain. Ce sous ensemble est
+représenté par une liste doublement chaînée, dont chaque élément de type
+bichain_t contient un index de noeud. On définit un tableau de pointeurs
+GAIN_L[ ] possèdant 2 * GMAX + 1 cases, et indexé par une valeur de gain
+comprise entre -GMAX et GMAX. Chaque case correspond à une valeur de gain, et
+contient un pointeur sur une des listes doublement chaînées définies ci-dessus.
+ * Le gain des cellules rattachées à la case d'index 0 est égal à -GMAX
+ * Le gain des cellules rattachées à la case d'index i est égal à i - GMAX
+ * Le gain des cellules rattachées à la case d'index 2*GMAX est égal à GMAX
+
+[[Image(gestionnaire.png, nolink)]]
+
+On fait la même chose pour représenter la liste GAIN_R.
+
+Au début  de l'algorithme, chaque noeud du graphe est inséré dans la  liste
+chaînée qui correspond à sa valeur de gain. Au fur et à mesure que les noeuds
+sont transférés, les listes se vident, car un noeud qui a subi un mouvement
+n'est plus autorisé à  bouger. Puisque le gain des noeuds change au cours
+de l'algorithme, un même noeud peut être retiré d'une liste et inséré dans
+une autre, ce qui justifie l'utilisation de listes doublement chaînées.
+
+Dans la structure de donnée «graphe_t»  représentant le graphe, les noeuds
+du graphe sont identifiés par leur index. On a donc besoin d'introduire dans
+la structure «move_manager_t» représentant le gestionnaire de mouvements,
+un moyen d'obtenir le pointeur sur la structure bichain_t représentant
+un noeud du graphe lorsqu'on connait son index. On construit donc un 
+tableau de pointeurs NODES [ ], indexé par le numéro du noeud.
+ 
+On utilise donc les structures suivantes:
+
+{{{
+typedef struct bichain_t {
+  bichain_t     *NEXT;  // pointeur sur le noeud suivant de même gain
+  bichain_t     *PREV;  // pointeur sur le noeud précédent de même gain
+  unsigned      INODE;  // index du noeud
+  int           IGAIN;  // index dans le tableau des gains 
+  unsigned  PART;       // numero de la partie 0 pour R, 1 pour L
+} bichain_t
+}}}
+{{{
+typedef struct move_manager_t {
+  int       GMAX;           // la taille des tableaux GAIN_R et GAIN_L est égale à 2*GMAX+1
+  bichain_t **GAIN_L;   // pointeur sur le tableau de pointeurs pour la partie gauche
+  bichain_t **GAIN_R;   // pointeur sur le tableau de pointeurs  pour la partie droite
+  int       LX;         // index de la première case non vide de GAIN_L (init à -1)
+  int       RX;         // index de la première case non vide de GAIN_R (init à -1)
+  bichain_t **NODES;    // pointeur sur le tableau de pointeurs sur les noeuds 
+} move_manager_t
+}}}
+
+= D) Fonctions d'accès aux structures de données =
+
+On dispose d'un ensemble de fonctions permettant de construire et de manipuler les deux structures de données graph_t et move_manager_t. 
+
+ '''graph_t * parse_graph(char *filename)'''::
+        Cette fonction prend pour argument un nom de fichier au format .dot
+        représentant le graphe à partitionner, construit en mémoire la structure
+        graph_t correspondante, et renvoie un pointeur sur cette structure. Si aucune
+        partition initiale n'est définie dans le fichier .dot, les noeuds d'index
+        inférieur à NBNODE/2 sont arbitrairement rangés dans le sous-ensemble L,
+        et les noeuds d'index supérieur à NBNODE/2 sont rangés dans le sous-ensemble R.
+
+        Un exemple de fichier au format .dot est donné ci-dessous. Les noeuds du graphe
+        sont identifiés par un index, il y a une ligne par arête, les deux sous-graphes
+        cluster0 et cluster1 définissent la partition initiale et sont optionnels.
+
+{{{
+graph
+{
+  // la définition des clusters est optionnelle
+  subgraph cluster0 {0 1 2 3} 
+  subgraph cluster1 {4 5 6 7}
+  0--4
+  0--5
+  0--7
+  1--5
+  3--7
+  1--2
+  5--6
+}
+}}}
+
+ '''void drive_graph(graph_t *p, char *filename)'''::
+        Cette fonction prend pour argument un pointeur p sur une structure graph_t,
+        ainsi que le nom du fichier de sortie, et écrit sur disque un fichier au
+        format .dot, en conservant dans le fichier les informations de partition
+        (sous-ensemble L et R). Ce format est affichable sous forme graphique et
+        permet de visualiser la partition.
+
+ '''bichain_t * cons_bichain (bichain_t *prev, bichain_t *next, unsigned inode, int igain, unsigned part)'''::
+        Cette fonction alloue la mémoire nécessaire pour créer un objet de type bichain_t appartenant à une liste
+        doublement chaînée, elle initialise les différents champs de cette structure,
+        et renvoie un pointeur sur cette structure.
+
+ '''void free_bichain (bichain_t *p)'''::
+        Cette fonction libère la mémoire allouée lors de la construction de l'objet
+        bichain_t par la donction cons_bichain().
+
+ '''move_manager_t * cons_move_manager(graph_t *p)'''::
+        Cette fonction pend pour argument un pointeur sur la structure représentant
+        le graphe partitionné, et construit en mémoire la structure move_manager_t
+        correspondant à cette partition.
+
+ '''void add_node (move_manager_t *mm, bichain_t *node)'''::
+        Cette fonction prend pour arguments un pointeur sur la structure représentant
+        le gestionnaire de mouvements et un pointeur sur un élément de type bichain_t
+        représentant un noeud) dont les champs INODE, IGAIN et PART sont définis. Elle range
+        ce noeud dans la liste doublement chaînée correspondante, elle met à jour
+        le tableau NODES et les index LX ou LR. Les champs NEXT et PREV sont initialisés par la fonction add_node().
+
+ '''bichain_t * del_node(move_manager_t *mm, bichain_t *node)'''::
+        cette fonction prend pour arguments un pointeur sur la structure représentant
+        le gestionnaire de mouvements, et un pointeur sur un élément de liste
+        doublement chaînée (représentant un noeud). Elle retire cet élément de la
+        liste doublement chaînée, met à jour le chaînage et les index LX et RX, enfin renvoie un pointeur sur la structure bichain_t
+        pour une éventuelle libération de la mémoire.
+
+ '''int compute_gain (graph_t *g, unsigned index)'''::
+        Cette fonction prend pour argument un pointeur sur la structure représentant le
+        graphe, un index désignant un noeud particulier, et calcule le gain associé
+        à ce noeud, pour la partition courante.
+
+ '''int global_cost (graph_t *g)'''::
+        Cette fonction prend pour argument un pointeur sur la structure représentant
+        le graphe, calcule la fonction de coût globale pour la partition courante,
+        et renvoie la valeur calculée.
+
+= E) Travail à réaliser =
+
+Créez un répertoire de travail '''tme8''', et copiez dans ce répertoire tous les fichiers et répertoires qui se trouvent dans
+{{{
+/users/enseig/encadr/cao/tme8
+}}}
+
+Dans un premier temps vous devez utiliser les fonctions qui vous sont fournies pour écrire le programme main()
+qui effectue le partitionnement d'un graphe quelconque défini dans un fichier au format .dot.
+Dans un deuxième temps vous devrez programmer vous même les différentes fonctions et remplacer
+progressivement les fichiers objets fournis par vos propres fichiers objet.
+
+'''1. Construction et initialisation du gestionnaire de mouvements'''
+       Ecrivez le programme ''main()'' qui construit en mémoire les deux structures de données
+       ''graph_t'' et ''move_manager_t''. Vous disposez pour vous aidez d'une fonction ''dump_move_manager()''
+       qui affiche le contenu de la structure.
+
+'''2. Exécution et évaluation'''
+       Complétez le programme main() en ajoutant la fonction ''mincut(graph_t *gr, move_manager_t *mm)''.
+       On utilisera la fonction ''global_cost(graph_t *g)'' pour calculer et afficher le coût de la partition avant et après optimisation.
+       Exécutez cet algorithme sur différents graphes que vous définirez vous-mêmes. 
+       La partition résultante est-elle toujours la partition optimale? Pourquoi? Donnez un contre-exemple.
+
+'''3. Ecriture de la fonction mincut() '''
+       Ecrire en langage C la fonction mincut() qui réalise l'algorithme !MinCut glouton. 
+       Cette fonction contient la boucle réalisant les transferts de cellules tant que le transfert fait décroitre
+       la fonction de coût. A chaque tour dans cette boucle, une cellule du sous-ensemble L passe dans R,
+       et une cellule du sous-ensemble R passe dans L. Les deux cellules i et j qui on bougé doivent être retirées
+       de la structure de donnée ''move_manager'', et les gains de toutes les cellules adjacentes à i et j doivent
+       être mis à jour.
+
+'''4. Ecriture des autres fonctions d'accès''' 
+       Ecrire les différentes fonctions d'accès aux structures de données définies
+       dans la partie D, et validez ces fonctions en les intégrant peu à peu dans
+       votre programme.
+
+'''5. construction du graphe en mémoire'''
+       L'objectif est ici d'écrire la fonction ''parse_graph()'', en utilisant lex et
+       yacc. Nous vous suggérons de commencer par faire l'hypothèse qu'il n'y a pas de clusters 
+       dans le fichier, puis d'introduire les clusters dans la grammaire de ce petit langage.
+
+= Compte-Rendu =
+
+Il ne vous est pas demandé de compte-rendu écrit pour ce TME, mais vous devrez faire une démonstration
+de votre code au début du prochain TME.