Quentin L. Meunier

Problème 1018

François, mathématicien fasciné par les grands nombres, en a trouvé un doté d'une propriété tout à fait étonnante : si on écrit un « 1 » à la gauche et un « 1 » à la droite de cet entier naturel de moins de 100 chiffres, alors on obtient un nombre 99 fois plus grand que lui.

1A, 1B, 1C. Quels sont les 9 derniers chiffres du nombre de François ? (dans le même ordre que ceux du nombre de François, le chiffre des unités à droite, sans espace).

2A, 2B, 2C. Quel est son nombre de chiffres ?

Pour la question 1, 9 chiffres doivent figurer dans chaque case utilisée. Attention, les trois cases ne sont pas forcément à remplir, il peut n'y avoir qu'une ou deux réponses. S'il y a plusieurs réponses à une des deux questions précédentes, on écrira, de gauche à droite, dans l'ordre croissant, les réponses possibles en s'arrêtant à la troisième s'il y en a plus de trois.

On commence par remarquer que si a est le nombre recherché, écrire un "1" à gauche et à droite est le nombre 10 × a + 1 + 10^{Nombre de chiffres(a) + 1}. Dire que ce nombre est égal à 99 × a équivaut à l'égalité : 1 + 10^{Nombre de chiffres(a) + 1} = 89 × a.
Il suffit donc de regarder pour chaque nombre de chiffre a possible entre 1 et 100 si l'expression 1 + 10^{Nombre de chiffres(a) + 1} est divisible par 89.

Le programme, écrit en python pour son support natif des entiers de taille arbitraires, est disponible ici.

1A. Le nombre de François se termine par 797752809.
2A. 21. 2B. 65. Le nombre N a 21 ou 65 chiffres.