Pensées en vrac

Cette section contient un certain nombre de pensées plus ou moins structurées...

Périodicité réelle

Quand j'étais petit, il y avait chez une horloge à pendule à côté d'un réveil. Les deux émettaient un son périodique, mais de période différente. De temps en temps, il semblait que les deux sons avaient lieu exactement en même temps, mais je me disais toujours : "les sons peuvent-ils être encore plus proches ?". J'en suis assez vite arrivé à la conclusion suivante :
Si a et b (a < b) sont deux nombres réels, il existe une sous-suite de la suite S (définie ci-dessous) qui converge vers 0.
La suite S est définie par : S(n) = Min_{k ∈ ℕ} | n × b − a × k |
Informellement, on peut réprésenter ce problème avec deux axes sur lesquels se produisent deux évènements A et B périodiques de périodes respectives a et b. Les termes de la suite sont les écarts entre l'instant où a lieu de n-ième évènement B, et l'évènement A le plus proche (voir figure ci-dessous).

Il existe deux situations :

• Soit les nombres a et b vérifient la propriété suivante : il existe m, m' ∈ ℕ tels que a × m = b × m'
  Dans ce cas, tous les termes de la suite S(i) tels que i mod m' = 0 sont égaux à 0 (sous-suite constante nulle)
• Soit les nombres a et b ne vérifient pas cette propriété (disons qu'ils sont "premiers entre eux" en élargissant le concept aux réels), auquel cas la valeur de k minimisant l'expression de S(n) est :
  • Soit k = ⌈ n × b / a ⌉
  • Soit k = ⌊ n × b / a ⌋

On peut par ailleurs noter que dès que les deux nombres appartiennent à ℚ, il ne sont pas premiers entre eux : si a = p / q et b = u / v, alors les termes de la suite seront nuls pour les indices multiples de p × v. Inversement, si un des deux nombres n'appartient pas à ℚ, alors a et b sont premiers entre eux. En conséquence, si les deux nombres réels sont obtenus par des réalisations d'une variable aléatoire ayant un support de mesure non nulle, alors la probabilité qu'ils soient "premiers entre eux" est de 1. Dans le cas des horloges, il y avait donc de fortes chances que ce soit le cas (modulo la non-atomicité des sons).

Nombre de diviseurs

Soit F la fonction qui à un nombre associe le nombre de diviseurs de ce nombre. Soit la suite H ordonnée des nombres entiers vérifiant : n ∈ H ⇔ ∀ x ∈ ℕ x < n ⇒ F(x) < F(n)
En d'autres termes, pour un nombre n appartenant à H, il n'existe pas de nombre inférieur ayant un nombre de diviseurs supérieur ou égal à celui de n.
Il s'agit donc d'une frontière efficiente, représentée pour les premières valeurs sur la figure ci-dessous.
Éléments de la suite H (abscisse) et leur nombre de diviseurs (ordonnée)

On peut observer la régularité de ces élements sur une échelle logarithmique (x et y) :

Éléments de la suite H (abscisse) et leur nombre de diviseurs (ordonnée) sur des échelles logarithmiques

Asymptotiquement, si l'on considère que le k^ème nombre premier est donné par k × ln(k) (théorème des nombres premiers), il faut choisir les coefficients a_k afin de :

• Minimiser ∏_k(k ln(k))^a_k
• Maximiser la fonction ∏_k(a_k + 1)

Ce qui m'intéresse ici est la distribution des puissances sur les facteurs premiers. Intuitivement, j'ai envie de dire qu'il faut que les termes du produit à maximiser soient le plus égaux possibles, et donc que les a_k soient de la forme α ⁄ ln(k ln(k)), mais cela n'est pas vraiment plus qu'une intuition (toute aide est bienvenue).
Par exemple, si l'on prend pour les a_k une décroissance linéaire, fabriquant les termes U(n) = p(0)^k×p(1)^k-1× ... ×p(n)¹, on se rend compte assez vite qu'un terme de U n'est pas sur la frontière efficiente.

Les valeurs des puissances des facteurs premiers sont données ci-dessous pour les premiers termes de la suite H :

Afficher

On se rend compte que la distribution des puissances sur les facteurs premiers suit vaguement une forme de 1 ⁄ ln(x), ne permettant pas d'infirmer cette hypothèse. On observe par ailleurs une fois encore que le nombre de termes de H par taille de nombre est quasiment constant.